Nonlinearity Assessment and Linear Control of Nonlinear Systems

Linear control may be favorable over nonlinear control because linear design techniques greatly facilitate the controller design process and because linear controllers impose lower requirements on the implementation and operation as compared to nonlinear controllers. It is therefore a tempting idea to use linear models and linear controller design methods also for nonlinear systems. It is for instance common practice in control engineering to use models obtained from Jacobi-linearization (i.e. first order Taylor series approximation of the state space equations) instead of complete nonlinear models. However, in order to guarantee the suitability of a linear model or the proper functioning of a linear controller in presence of the model/plant mismatch due to linearization, a rigorous justification is required. This thesis presents a general framework to design linear controllers for nonlinear systems based on linear models, that guarantees stability also for the nonlinear closed loop. How to deal with a model/plant mismatch in a purely linear setup is very well known from linear robust control theory. Robust stability can be guaranteed if the gain of the modeling error satisfies a certain bound. This small gain condition remains valid in the case of a nonlinear plant that is modeled by a linear model. However, the small gain condition requires a global bound on the gains of the modeling error. Moreover, this bound must be small enough in order to prove stability. These requirements are often too strong to be satisfiable for general nonlinear systems. To avoid the conservatism connected to global analysis, the presented approach makes therefore use of gains over sets in order to be able to do the analysis and synthesis in a specified region of operation. Corresponding to the introduction of gains over sets in theory, a saturation block is introduced in the plant or the controller in implementation. The controller design for nonlinear systems is thus reduced to the controller design for linear saturated systems. Examples show that the remaining controller design problem is feasible with standard techniques from the literature. Prior to controller design, a nominal linear model and the error bound have to be derived. While the linearization is a common choice as a linear model for a nonlinear system, it does not need to be the best choice for a given region of operation. Indeed, there are situations in which other linear models turn out to be better suited for controller design than the linearization. It is therefore interesting to search for the best linear model for a nonlinear system, characterized by a minimal modeling error. This minimal modeling error measures at the same time the disparity between the nonlinear system and the set of linear systems, and thus provides a way to assess the extend of nonlinearity of the plant. Hence, vii viii ABSTRACT the modeling error allows to (i) evaluate the quality of a given linear model, (ii) derive a best linear model that minimizes the modeling error, and (iii) use the modeling error of the best system as a measure of nonlinearity of the system. As there are different ways to define a modeling error, like an additive error, or multiplicative errors at the input or output etc., different according nonlinearity measures are defined under a common system-theoretic framework. This thesis has two main areas of contribution. The first area is the derivation and assessment of linear models for nonlinear systems, and the second area is the utilization of this information for controller design. The main contribution of the first part of this thesis is to introduce a novel unifying framework for nonlinearity assessment, to provide a rigorous mathematical foundation, and to provide characterizations of the nonlinearity measures and best linear models for special system classes. The computation of nonlinearity measures and linear models is also discussed. In the second part of this thesis, stability conditions and controller design procedures for linear control of nonlinear systems are presented. The exact form of the nominal closed loop and of the stability condition depends on the type of modeling error chosen and we present results for all previously defined setups. Examples show the advantages and disadvantages of the proposed design procedure. In particular, the possible advantages of regional design and of the use of best models are illustrated. The results of this thesis build a bridge between nonlinearity assessment and robust control theory. The key feature of the proposed methods is thereby to bring together nonlinearity measures, the development and assessment of linear models for nonlinear systems and the design of linear controllers for nonlinear systems under a unifying framework. Deutsche Kurzfassung Die lineare Regelung ist gegenüber der nichtlinearen Regelung vorteilhaft, weil lineare Methoden den Entwurfsprozess vereinfachen und lineare Regler niedrigere Anforderungen an die technische Umsetzung stellen als nichtlineare Regler. Es ist deshalb erstrebenswert, lineare Modelle und lineare Reglerentwurfsverfahren auch für nichtlineare Regelstrecken zu verwenden. So ist es gängige Praxis, statt der vollständigen nichtlinearen Modelle einfacherere Modelle zu verwenden, die aus den vollständigen Modellen durch Linearisierung (d.h. durch Taylor-Approximation erster Ordnung) hervorgehen. Um jedoch die Stabilität des Regelkreises und die Funktionsfähigkeit des linearen Reglers angesichts des durch die Modellvereinfachung verursachten Modellfehlers zu garantieren, und damit einen erfolgreichen Reglerentwurf sicherzustellen, bedarf es einer methodischen Rechtfertigung. In der vorliegenden Arbeit wird eine allgemeingültige Methodik vorgestellt, mit deren Hilfe anhand eines linearen Modells ein Regler für ein nichtlineares System entworfen werden kann, und die die Stabilität des geschlossenen Kreises garantiert. Wie ein Modellfehler beim Regelungsentwurf berücksichtigt werden kann ist aus der Theorie linearer robuster Regelungen bekannt. Tatsächlich behält die Bedingung, die üblicherweise für robuste Stabilität linearer Systeme verwendet wird (das sog. “small-gain”-Kriterium), auch hinsichtlich nichtlinearer Systeme, welche durch lineare Modelle angenähert werden, Gültigkeit. Jedoch setzt die Anwendung der “small-gain”-Bedingung eine globale Schranke für die Signalverstärkung voraus. Das bedeutet anschaulich, dass das betreffende System “im Unendlichen linear beschränkt” sein muss. Darüber hinaus muss die Schranke, die sog. Verstärkung des Systems, klein genug sein, um die Stabilitätsbedingung zu erfüllen. Diese Anforderungen sind in der Praxis häufig zu hoch, um eine Anwendung der “small-gain”-Bedingung auf den Reglerentwurf für allgemeine nichtlineare Systeme zuzulassen. Um den mit der globalen Analyse und dem globalen Entwurf einhergehenden Konservatismus, d.h. die übermässig strengen Kriterien, zu vermeiden, findet in dieser Arbeit das Konzept der regionalen Verstärkung Anwendung. Dieses Konzept erlaubt die Analyse und Synthese von Regelungssystemen in einem vom Entwickler festgelegten Arbeitsbereich. Die Einführung des Konzepts der regionalen Verstärkung findet in der Praxis seine Entsprechung darin, dass entweder die Regelstrecke oder der Regler durch ein Sättigungsglied ergänzt wird. Der Reglerentwurf für nichtlineare Systeme wird auf diese Weise durch den Reglerentwurf für beschränkte lineare Systeme ersetzt. Wie Beispiele zeigen, ix x DEUTSCHE KURZFASSUNG kann das verbleibende Regelungsproblem mit Standardmethoden aus der Literatur gelöst werden. Bevor jedoch der Reglerentwurf durchgeführt werden kann, muss ein lineares Modell und der entsprechende Modellfehler hergeleitet werden. Während die (lokale) Linearisierung in der Praxis häufig als lineares Modell gewählt wird, muss sie für einen gegebenen Arbeitsbereich nicht das bestmögliche Modell darstellen. Vielmehr stellen sich in bestimmten Fällen andere Modelle als für den Reglerentwurf geeigneter heraus. Es ist deshalb von Interesse, für ein gegebenes nichtlineares System und einen gegebenen Arbeitsbereich das beste lineare Modell zu finden. Das beste linear Modell zeichnet sich dadurch aus, dass es den kleinsten Modellfehler auf dem gewählten Arbeitsbereich besitzt. Dieser kleinste Modellfehler ist gleichzeitig ein Maß für den Abstand des nichtlinearen Systems von der Klasse der linearen Modelle, und damit ein Maß für die “Nichtlinearität” des Systems. Der Modellfehler kann also dazu benutzt werden, erstens, die Qualität eines gegebenen linearen Modells zu bewerten, zweitens, ein bestes lineares Modell herzuleiten, und drittens, die Nichtlinearität eines nichtlinearen Systems zu messen. Es gibt verschiedene Arten, den Modellfehler festzulegen, wie auch in der linearen robusten Regelung z.B. additive Modellfehler und (invers-)multiplikative Modellfehler definiert werden können. In dieser Arbeit wird eine Methodik zur Modellbewertung und Modellherleitung eingeführt, die die Definition verschiedener Nichtlinearitätsmaße zu den entsprechenden Modellfehlern im Rahmen eines gemeinsamen systemtheoretischen Zugangs erlaubt. Die Beiträge dieser Arbeit können also zwei Themenkomplexen zugeordnet werden. Der eine Komplex beschäftig sich mit der Herleitung und der Bewertung linearer Modelle für nichtlineare Systeme, und der zweite Komplex behandelt die Verwendung der dabei gewonnenen Information für den Reglerentwurf. Bezüglich des ersten Komplexes besteht der Hauptbeitrag dieser Arbeit in der Einführung einer neuen, verallgemeinerten Herangehensweise zur Nichtlinearitätsbewertung, der Bereitstellung und Rechtfertigung der entsprechenden mathematischen Methoden sowie der Charakterisierung der Nichtlinearitätsmaße und der besten linearen Modelle für spezielle Systemklassen. Insbesondere wird gezeigt, unter welchen Bedingungen die oben beschriebenen Modellfehler definiert werden können, und es wird gezeigt, dass die mathematischen Eigenschaften dieser Definitionen den damit verbundenen Intentionen entsprechen. So wird zum Beispiel gezeigt, dass das beste lineare Modell im Sinne eines additiven Modellfehlers im Spezialfall eines gegen einen Punkt konvergierenden Arbeitsbereiches genau der Linearisierung an diesem Arbeitspunkt entspricht. Es wird gezeigt, wie aus dem stationären Verhalten eines Systems untere Schranken für die Nichtlinearitätsmaße berechnet werden können. Für den Fall statischer Nichtlinearitäten wird gezeigt, dass dynamische lineare Modelle nicht besser geeignet sind als statische lineare Modelle. Es werden Formeln für die Berechnung der Nichtlinearitätsmaße statischer Nichtlinearitäten angegeben. Der Begriff der Sektornichtlinearität führt dabei auf besonders einfach auszuwertende Formeln für Eingrößensysteme. Lineare Modelle und deren Modellfehler werden für die Klassen der Hammerstein-Systeme und der Wiener-Systeme angegeben. Es wird gezeigt, unter welchen Bedingungen ein exakt optimales lineares Modell, d.h. ein Modell dessen Modellfehler dem Nichtlinearitätmaß entspricht, existiert. Falls kein optimales DEUTSCHE KURZFASSUNG xi Modell existiert, kann immer ein lineares Modell gefunden werden, dessen Modellfehler das Nichtlinearitätsmaß beliebig genau annähert. Methoden zur computergestützen Berechnung von Nichtlinearitätsmaßen und optimalen bzw. suboptimalen linearen Modellen werden diskutiert. Der Beitrag zum zweiten Themenkomplex besteht in der Herleitung von Stabilitätsbedingungen und Reglerentwurfsverfahren für die lineare Regelung nichtlinearer Systeme. Die genaue Form der Stabilitätsbedingung und des nominellen geschlossenen Kreises hängen dabei von der Art und Weise ab, wie der Modellfehler definiert wird. Es werden Stabilitätsbedingungen für alle im ersten Teil definierten Modellfehler angegeben. Anhand von Beispielen werden die Vorund Nachteile der vorgeschlagenen Entwurfsmethodik gezeigt. Insbesondere wird die mögliche Verbesserung der Regelgüte durch die Verwendung eines optimalen linearen Modells illustriert. Zudem wird demonstriert, dass es notwendig sein kann, einen regionalen Entwurf statt eines globlen Entwurfs durchzuführen. Es werden Kriterien zur Auswahl der für ein gegebenes Regelproblem am besten geeigneten Definition des Modellfehlers diskutiert , und mögliche Erweiterungen der Methode für den Entwurf mit garantierter Regelgüte gezeigt. Die Ergebnisse dieser Arbeit stellen eine Verbindung zwischen Methoden der Nichtlinearitätsbewertung und Methoden der robusten Regelung her. Der Vorteil der vorgestellten Methodik besteht dabei darin, Nichtlinearitätsmaße, die Herleitung und die Bewertung linearer Modelle für nichtlineare Systeme sowie den Entwurf von linearen Reglern für nichtlineare Systeme unter einem gemeinsamen systemtheoretischen Konzept zu vereinen. CHAPTER